Как найти синус отрицательного числа

Как найти синус отрицательного числа

  • Материалы к уроку
  • Скачать таблицу с решениями

Думаю, всем известно общее решение уравнения вида sin x = a :

x = (−1) n arcsin a + π n , n ∈ Z

Именно так нас учат записывать ответы в школе. Главное преимущество этой формулы — краткость. Однако у нее есть множество недостатков. Например:

  1. Многие ученики не понимают эту формулу. Как с ней работать? И откуда берется множитель (−1) n ? В результате начинается зубрежка, а зубрежка — это зло;
  2. Числа, записанные в таком виде, совершенно не приспособлены для использования в неравенствах. Их сложно отмечать на координатной прямой (хотя все-таки можно — после упорной тренировки).

И это еще не все! Например, что будет, если синус равен отрицательному числу? Почему степень увеличивается на единицу? Далеко не все ученики это понимают. Поэтому, чтобы избежать проблем, предлагаю разбивать ответ два простых подмножества. Взгляните:

x = (−1) n arcsin a + π n , n ∈ Z

x = arcsin a + 2π n , n ∈ Zm
x = π − arcsin a + 2π k , k ∈ Z

Обратите внимание: в новой записи изменился период. Отныне к арксинусу добавляется 2π n — так же, как у арккосинуса. Давайте посмотрим, как это правило работает на практике.

Синус – одна из тригонометрических функций. Значение синуса определяется для угла или для числа (в этом случае используют числовую окружность).

Аргумент и значение

Синус острого угла

Синус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

1) Пусть дан угол и нужно определить синус этого угла.

2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.

3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить (sinA).

Синус числа

Синус числа можно определить с помощью числовой окружности – синус числа равен ординате соответствующей точки на ней.

Числовая окружность позволяет определить синус любого числа, но обычно находят синус чисел как-то связанных с Пи : (frac<π><2>) , (frac<3π><4>) , (-2π).

Например, для числа (frac<π><6>) — синус будет равен (0,5). А для числа (-) (frac<3π><4>) он будет равен (-) (frac<sqrt<2>><2>) (приблизительно (-0,71)).

Синус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в тригонометрической таблице .

Значение синуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1). При этом вычислен он может быть для абсолютно любого угла и числа.

Синус любого угла

Благодаря единичному кругу можно определять тригонометрические функции не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем (360°) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем (100) раз услышать, поэтому смотрите картинку.

Теперь пояснение: пусть нужно определить (sin∠КОА) с градусной мерой в (150°). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью (x). После этого откладываем (150°) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам (sin⁡∠KOA).

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в (-60°) (угол КОВ), делаем также, но (60°) откладываем по часовой стрелке.

И, наконец, угол больше (360°) (угол КОС) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол (405°) отложен как (360° + 45°).

Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в (960°), надо сделать уже два оборота ((360°+360°+240°)), а для угла в (2640°) — целых семь.

Как вы могли заменить, и синус числа, и синус произвольного угла определяется практически одинаково. Изменяются только способ нахождения точки на окружности.

Читайте также:  Как перевести часы в дни в excel

Связь с другими тригонометрическими функциями:

косинусом того же угла (или числа): основным тригонометрическим тождеством (sin^2⁡x+cos^2⁡x=1)
тангенсом и косинусом того же угла (или числа): формулой (tg⁡x=) (frac<sin⁡x><cos⁡x>)
котангенсом того же угла (или числа): формулой (1+сtg^2⁡x=) (frac<1><sin^2⁡x>)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри здесь .

Функция (y=sin⁡x)

Если отложить по оси (x) углы в радианах, а по оси (y) — соответствующие этим углам значения синуса, мы получим следующий график:

График данной функции называется синусоида и обладает следующими свойствами:

— область определения – любое значение икса: (D(sin⁡x )=R)
— область значений – от (-1) до (1) включительно: (E(sin⁡x )=[-1;1])
— нечетная: (sin⁡(-x)=-sin⁡x)
— периодическая с периодом (2π): (sin⁡(x+2π)=sin⁡x)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: ((πn;0)), где (n ϵ Z)
ось ординат: ((0;0))
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: ((2πn;π+2πn)), где (n ϵ Z)
функция отрицательна на интервалах: ((π+2πn;2π+2πn)), где (n ϵ Z)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: ((-) (frac<π><2>) (+2πn;) (frac<π><2>) (+2πn)), где (n ϵ Z)
функция убывает на интервалах: (() (frac<π><2>) (+2πn;) (frac<3π><2>) (+2πn)), где (n ϵ Z)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение (y=1) в точках (x=) (frac<π><2>) (+2πn), где (n ϵ Z)
функция имеет минимальное значение (y=-1) в точках (x=-) (frac<π><2>) (+2πn), где (n ϵ Z).

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень. "
И для тех, кто "очень даже. " )

В предыдущем уроке мы освоили базовые понятия. Это понятия тригонометрическая окружность, угол, синус и косинус этого угла. Освоили, что называется, "на пальцах". Главное сделано. Но чтобы толково использовать эти понятия на практике, надо чётко усвоить два момента.

1. Как считаются углы?
2. В чём они считаются?

Первый вопрос прост, но и здесь есть место ошибкам. А второй. Если опросить 10 человек на тему: "Что такое "Пи" в тригонометрических функциях?", лучший ответ будет такой:"Пи — это 180 градусов!" Что, по сути, верно, но уточнять детали лучше уже не надо. Чтобы не испортить впечатление.)

Формальное, неосознанное использование понятий очень часто приводит. в лужу. При нестандартных вопросах — почти всегда. Но мы в лужу не собираемся, правда? Сыро там. Работаем.

Положительные и отрицательные углы в тригонометрии.

В этом небольшом уроке разберём первый вопрос.

Итак, как считать углы на тригонометрическом круге?
Смотрим на рисунок.

Он почти такой, как в предыдущем уроке. Есть оси, окружность, угол, всё чин-чинарём. Добавлены номера четвертей (в уголках большого квадрата) — от первой, до четвёртой. А то вдруг кто не знает? Как видите, четверти (их ещё называют красивым словом "квадранты") нумеруются против хода часовой стрелки. Добавлены значения угла на осях. Всё понятно, никаких заморочек.

И добавлена зелёная стрелка. С плюсом. Что она означает? Напомню, что неподвижная сторона угла всегда прибита к положительной полуоси ОХ. Так вот, если подвижную сторону угла мы будем крутить по стрелке с плюсом, т.е. по возрастанию номеров четвертей, угол будет считаться положительным. Для примера на картинке показан положительный угол +60°.

Читайте также:  Vipnet firewall как отключить

Если будем откладывать углы в обратную сторону, по ходу часовой стрелки, угол будет считаться отрицательным. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете), увидите синюю стрелку с минусом. Это — направление отрицательного отсчёта углов. Для примера показан отрицательный угол (- 60°). А ещё вы увидите, как поменялись циферки на осях. Я их тоже перевёл в отрицательные углы. Нумерация квадрантов не меняется.

Вот тут, обычно, начинаются первые непонятки. Как так!? А если отрицательный угол на круге совпадёт с положительным!? Да и вообще, получается что, одно и то же положение подвижной стороны (или точки на числовой окружности) можно обозвать как отрицательным углом, так и положительным!?

Да. Именно так. Скажем, положительный угол 90 градусов занимает на круге точно такое же положение, что и отрицательный угол в минус 270 градусов. Положительный угол, к примеру, +110° градусов занимает точно такое же положение, что и отрицательный угол -250°.

Зачем?! Как теперь считать углы, если можно и так и этак!? Как правильно!?

Не вопрос. Всяко правильно.) Выбор положительного или отрицательного исчисления угла зависит от условия задания. Если в условии ничего не сказано открытым текстом про знак угла, (типа "определить наименьший положительный угол" и т.д.), то работаем с удобными нам величинами.

Исключением (а как без них?!) являются тригонометрические неравенства, но там мы эту фишку освоим.

А теперь вопрос вам. Как я узнал, что положение угла 110° совпадает с положением угла -250°?
Намекну, что это связано с полным оборотом. В 360°. Непонятно? Тогда рисуем круг. Сами рисуем, на бумаге. Отмечаем угол примерно 110°. И считаем, сколько остается до полного оборота. Останется как раз 250°.

Уловили? А теперь — внимание! Если углы 110° и -250° занимают на круге одно и то же положение, то что? Да то, что у углов 110° и -250° совершенно одинаковые синус, косинус, тангенс и котангенс!
Т.е. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) и так далее. Вот это уже действительно важно! И само по себе — есть масса заданий, где надо упростить выражения, и как база для последующего освоения формул приведения и прочих премудростей тригонометрии.

Понятное дело, 110° и -250° я взял наобум, чисто для примера. Всё эти равенства работают для любых углов, занимающих одно положение на круге. 60° и -300°, -75° и 285°, ну и так далее. Отмечу сразу, что углы в этих парочках — разные. А вот тригонометрические функции у них — одинаковые.

Думаю, что такое отрицательные углы вы поняли. Это совсем просто. Против хода часовой стрелки — положительный отсчёт. По ходу — отрицательный. Считать угол положительным, или отрицательным зависит от нас. От нашего желания. Ну, и ещё от задания, конечно. Надеюсь, вы поняли и как переходить в тригонометрических функциях от отрицательных углов к положительным и обратно. Нарисовать круг, примерный угол, да посмотреть, сколько недостаёт до полного оборота, т.е. до 360°.

Углы больше 360°.

Займемся углами которые больше 360°. А такие бывают? Бывают, конечно. Как их нарисовать на круге? Да не проблема! Допустим, нам надо понять, в какую четверть попадёт угол в 1000°? Легко! Делаем один полный оборот против хода часовой стрелки (угол-то нам дали положительный!). Отмотали 360°. Ну и мотаем дальше! Ещё оборот — уже получилось 720°. Сколько осталось? 280°. На полный оборот не хватает. Но угол больше 270° — а это граница между третьей и четвёртой четвертью. Стало быть наш угол в 1000° попадает в четвёртую четверть. Всё.

Читайте также:  Как обновить чертеж в автокаде

Как видите, это совсем просто. Ещё раз напомню, что угол 1000° и угол 280°, который мы получили путём отбрасывания "лишних" полных оборотов — это, строго говоря, разные углы. Но тригонометрические функции у этих углов совершенно одинаковые! Т.е. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° и т.д. Если бы я был синусом, я бы не заметил разницы между этими двумя углами.

Зачем всё это нужно? Зачем нам переводить углы из одного в другой? Да всё за тем же.) С целью упрощения выражений. Упрощение выражений, собственно, главная задача школьной математики. Ну и, попутно, голова тренируется.)

Ну что, потренируемся?)

Отвечаем на вопросы. Сначала простые.

1. В какую четверть попадает угол -325° ?

2. В какую четверть попадает угол 3000° ?

3. В какую четверть попадает угол -3000° ?

Есть проблемы? Или неуверенность? Идём в Раздел 555, Практическая работа с тригонометрическим кругом. Там, в первом уроке этой самой "Практической работы. " всё подробненько. В таких вопросах неуверенности быть не должно!

Всё нормально? Едем дальше:

4. Какой знак имеет sin555° ?

5. Какой знак имеет tg555° ?

Определили? Отлично! Сомневаетесь? Надо в Раздел 555. Кстати, там научитесь рисовать тангенс и котангенс на тригонометрическом круге. Очень полезная штучка.

А теперь вопросы помудрёнее.

6. Привести выражение sin777° к синусу наименьшего положительного угла.

7. Привести выражение cos777° к косинусу наибольшего отрицательного угла.

8. Привести выражение cos(-777°) к косинусу наименьшего положительного угла.

9. Привести выражение sin777° к синусу наибольшего отрицательного угла.

Что, вопросы 6-9 озадачили? Привыкайте, на ЕГЭ и не такие формулировочки встречаются. Так и быть, переведу. Только для вас!

Слова "привести выражение к. " означают преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а внешний вид поменялся в соответствии с заданием. Так, в задании 6 и 9 мы должны получить синус, внутри которого стоит наменьший положительный угол. Всё остальное — не имеет значения.

Ответы выдам по порядку (в нарушение наших правил). А что делать, знака всего два, а четверти всего четыре. Не разбежишься в вариантах.

Предполагаю, что ответы на вопросы 6 -9 кое-кого смутили. Особенно -sin(-57°), правда?) Действительно, в элементарных правилах отсчёта углов есть место для ошибок. Именно поэтому пришлось сделать урок: "Как определять знаки функций и приводить углы на тригонометрическом круге?" В Разделе 555. Там задания 4 — 9 разобраны. Хорошо разобраны, со всеми подводными камнями. А они тут есть.)

В следующем уроке мы разберёмся с загадочными радианами и числом "Пи". Научимся легко и правильно переводить градусы в радианы и обратно. И с удивлением обнаружим, что этой элементарной информации на сайте уже хватает, чтобы решать некоторые нестандартные задачки по тригонометрии!

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Ссылка на основную публикацию
Как набрать дробь на клавиатуре
Как писать дроби на клавиатуре Вид №1: вертикальная дробь Предположим, вы хотите изобразить дробь с горизонтальной чертой, которая называется винкулум....
Как достать boot img из прошивки
Здесь процесс решения и результат, а не только готовый результат. Прежде всего хочется сказать, что если в интернете нет готового...
Как зайти в телеграм если потерял сим
Можно предположить, что пользователь забыл номер телефона, к которому привязан его аккаунт в Телеграмме. Быть может, телефон был забыт или...
Как найти длину стороны зная координаты вершин
Ответ Проверено экспертом 1)периметр треугольника равен AB + BC + AC. Нам надо найти длину каждой стороны по координатам их...
Adblock detector