Как определить частоту колебаний математического маятника

Как определить частоту колебаний математического маятника

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за секунд.

Математический маятник — материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, и совершавшая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Если отклонить маятник от положения равновесия, то сила тяжести и сила упругости будут направлены под углом. Равнодействующая сила уже не будет равна нулю. Под воздействием этой силы маятник устремится к положению равновесия, но по инерции движение продолжится и маятник отклоняется в другую сторону. Равнодействующая сила его снова возвращает.

Частота математического маятника — Чем больше период колебаний математического маятника, тем меньше частота.

Важно где происходят колебания! На Луне и на Земле один и тот же математический маятник при одинаковых начальных условиях колебаться будет по-разному. Так как ускорение свободного падения на Луне отличается от ускорения свободного падения на Земле.

Линейная скорость материальной точки, линейное ускорение материальной точки, единицы измерения. Сложение скоростей.

линейная скорость — это производная от пройденного пути по времени.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости (метр/сек). Скорость каждой точки, будучи направлена по касательной к соответствующей окружности, непрерывно изменяет свое направление. Величина скорости определяется скоростью вращения тела и расстоянием R рассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол Точка, находящаяся на расстоянии R от оси проходит при этом путь, равный :

Читайте также:  Добавление столбца в таблицу sql

Линейная скорость точки по определению:

линейное ускорение — это производная от скорости по времени.

Формула линейного ускорения:

a = dv/dt = d 2 s/dt 2 , где s – путь,пройденный телом.

Сложение скоростей — с помощью данного закона определяется скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта. Она равна векторной сумме скорости этого тела относительно подвижной системы отсчета и скорости самой подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы

Для того, чтоб было более понятно, как работает закон сложения скоростей, рассмотрим такой пример. Вагон движется со скоростью 50 кмч (это будет ), в вагоне идет человек со скоростью 3 кмч (это будет ), найти скорость человека относительно Земли.

У данной задачи будет два решения. Если человек будет идти по направлению движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 53 кмч.

А если человек будет идти против движения вагона, то скорость человека относительно Земли будет 47 кмч.

В Формуле мы использовали :

— Конечная скорость тела

— Скорость тел в различных инерциальных системах отчета

Свободные колебания. Пружинный маятник. Частота колебаний пружинного маятника (формула).

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначальной сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему (систему, совершающую колебания).

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = kx, где k жесткость пружины.

Частота пружинного маятника — Чем больше период колебаний пружинного маятника, тем меньше частота

— Частота Пружинного маятника, — Период колебаний маятника

— Масса груза, или масса маятника, — Жесткость пружины

Угловая скорость, частота вращения, период вращения (определение, единицы измерения, связь между величинами). Связь между линейной и угловой скоростями.

Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость точки. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности Точка, лежащая на окружности радиусом R, за один оборот пройдет путь . Поскольку время одного оборота тела есть период T, то модуль линейной скорости точки можно найти так:

Так как , то

Условия возникновения затухающих колебаний (соотношение между собственной частотой и коэффициентом затухания). Амплитуда затухающих колебаний (формула).

Соотношение: β — коэффициент затухания. Этот коэффициент характеризует скорость затухания колебаний, При наличии сил сопротивления энергия колеблющейся системы будет постепенно убывать, колебания будут затухать.

Амплитуда колебаний — это максимальное расстояние, на которое удаляется колеблющееся тело от своего положения равновесия. Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону , где А – начальная амплитуда. Зависимость амплитуды показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. График затухающих колебаний

Механическая работа (определение, единицы измерения). Мощность силы (определение, единицы измерения).

Механическая рабоат — то скалярная физическая величина, которая характеризует процесс перемещения тела под действием силы и равна произведению модуля силы F на модуль перемещения S и на косинус угла между ними

Если тело под действием силы совершает перемещение , работа А этой силы равна скалярному произведению силы на вектор перемещения. Работа силы есть скалярная величинаА=

А=

мощность силы — скалярная физическая величина N, равная отношению работы А, совершаемой силой, к промежутку времени , в течение которого она совершается:

Читайте также:  В скайпе отключена камера как включить

Работа силы, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность N это физическая величина, равная отношению работы A к промежутку времени t, в течение которого совершена эта работа:

В Международной системе (СИ) единица мощности называется ватт (Вт). Ватт равен мощности силы, совершающей работу в 1 Дж за время 1 с.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила, то она совершает работу . Поэтому мощность этой силы

Примеры движения

Колебательное движение является одним из наиболее распространенных в природе. Например, можно представить себе струны музыкальных инструментов, качели или голосовые связки человека.

В физике колебаниями называются процессы, которые повторяются через равные промежутки времени. Подобные движения рассматривается посредством нескольких моделей:

  • тела, подвешенного на пружине (двигающееся по направлению вверх-вниз);
  • груза на нитке;
  • электрического контура и других.

Амплитуда, период и частота

Если подвесить одновременно два груза на две разные нити и запустить их, то можно заметить, что расстояние отклонения груза от среднего положения до крайнего — разное.

Это величина носит название амплитуды. Обозначается буквой А и измеряется в системе Си в метрах. Также для обозначения подобного движения применяются следующие термины:

  • Время, за которое маятник приходит в одно и то же положение, называется периодом колебаний.
  • Количество колебаний в единицу времени представляет собой частоту. Она измеряется в Герцах (Гц). Имеет обратную зависимость от периода.
  • Циклическая частота колебаний (угловая, круговая) представляет собой количество колебаний за 2 π секунд. Обозначается греческой буквой омега. Она вводится для упрощения расчетов в теоретической физике и электронике. Единица измерения циклической частоты рад/с.
  • Если имеется два графика функций с одинаковой частотой, но сдвинуты относительно друг друга, то различна их фаза колебаний.

Выделяют понятие свободных колебаний. Когда системе, например, математическому маятнику, придают импульс, чтобы начать движение, дальнейшие его колебания (самостоятельные) будут считаться свободными.

Математический маятник

Эта модель рассматривает движение груза, подвешенного на нитке. Описывается система, в которой масса нитки намного меньше массы груза, а ее длина намного больше его размеров.

Также нить должна быть невесомой и нерастяжимой.

Груз в этом случае считается материальной точкой.

При выполнении этих условий частота колебаний маятника и период не будут зависеть от массы груза. Движение математического маятника рассматривается при небольшом угле отклонения (α). Последний измеряется в радианах, поэтому приблизительно соответствует по значению его синусу и тангенсу. Этот же угол пропорционален отношению смещения на длину нити:

α=x/l.

На маятник действует синусовая составляющая силы тяжести и тангенсовая сила натяжения нити. Согласно второму закону Ньютона: ma=-mgsin (α). Откуда можно получить a=-gx/l

Вторая производная уравнения движения дает a=-(ω)^2x

Таким образом: -gx/l=-(ω)^2x -> ω ^2=g/l.

Период: T=2π /ω T=2π*sqrt (g/l)

Это формула Галилея, которая описывает движение математического маятника.

Формула частоты колебаний для математического маятника: v=sqrt (l/g)/2π.

Пружинный маятник

Подобным термином называется система, в которой движения совершает груз, подвешенный на легкой пружине.

Тело находится в положении равновесия, если пружина не деформирована. Если ее растянуть или сжать, то система начнет колебания под действием силы упругости, которая направлена на приведение маятника в положение равновесия.

Сила упругости пропорциональна смещению тела (x), но направлена противоположно. Коэффициент пропорциональности между этими двумя величинами носит название жесткости пружины (k). Таким образом:

F=-kx.

Сила упругости достигает наибольшей величины в положении максимального отклонения тела (амплитуда, смещение) от равновесия. В этой точке наибольшую величину имеет и ускорение.

По мере того, как тело приближается к положению равновесия, уменьшается сила упругости и ускорение. В средней точки обе величины равны нулю, но ненулевое значение имеет скорость тела. Поэтому груз не останавливается, а продолжает движение.

Читайте также:  Как поставить сортировку в экселе

После прохождения положения равновесия он двигается в обратном направлении по инерции, а сила упругости тянет его назад. Благодаря трению воздуха скорость уменьшается, и маятник останавливается.

Все эти модели можно отнести к классическому гармоническому осциллятору — системе, которая имеет одну степень свободы и описывается единственным уравнением.

Явление резонанса

Это понятие имеет особое значение для описания колебаний. Если имеется некое воздействие, частота которого приближается к собственной частоте системы, то последняя реагирует резким увеличением амплитуды.

Явление резонанса можно представить себе на примере того же математического маятника. Для этого необходимо маятник привязать к веревке, к которой привязать еще один такой же, но с более длинной нитью. При этом длина нитки второго маятника может регулироваться. Если привести в движение оба маятника, а длину второй нитки постепенно изменять, то можно будет заметить, что амплитуда увеличивается по мере приближения размеров обеих ниток.

В этом случае первый маятник будет приемником колебаний, а второй — передатчиком. Причиной увеличения амплитуды является колебание подвески с такой же частотой.

Колебательный контур

Является еще одним примером колебаний, на котором основаны все радиоприемники. Контур играет роль приемника сигнала.

В простейшем примере представляет собой замкнутую цепь из катушки индуктивности и конденсатора. При определенных обстоятельствах в подобном контуре могут возникать и поддерживаться электрические колебания.

Для возбуждения колебаний необходимо подключить источник постоянного напряжения к конденсатору и зарядить его. После этого источник убрать, а цепь замкнуть.

Конденсатор разряжается через катушку индуктивности, а в цепи создается ток, интенсивность которого увеличивается по мере разряда конденсатора. Вокруг катушки создается магнитное поле.

Электрический заряд конденсатора преобразовался в магнитное поле. После этого магнитное поле катушки будет уменьшаться, а конденсатор обратно заряжаться. Процесс повторяется циклически и описывается теми же характеристиками, что и механические колебания: частотой, амплитудой и периодом.

Они являются свободными и затухающими. Чтобы их поддерживать, необходимо периодически заряжать конденсатор.

Звук и электромагнитные волны

Понятие частоты вводится и для звуковых и электромагнитных волн. Первые представляют собой колебания плотности среды. Вторые — изменение со временем напряженности магнитного и электрического полей.

От частоты звука зависит его тональность. Этим свойством пользуются для стандартизации описания музыки и создания музыкальных инструментов — каждой ноте соответствует своя частота.

До 16 Гц человеческое ухо не воспринимает, так же как и выше 20 КГЦ. Более высокие частоты используются в эхолокации, ультразвуковой диагностике.

Частота электромагнитных волн также определяет их способность взаимодействовать с человеческим организмом. Рентгеновское излучение проходит насквозь, при этом взаимодействуя с молекулами, вызывая их ионизацию. Ультразвук провоцирует процессы загара, фотосинтеза. Радиоволновое излучение практически не оказывает прямого воздействия, но хорошо подходит для передачи информации. В видимом диапазоне частота определяет цвет.

Есть также такая характеристика, как частота колебаний молекул. Она зависит от температуры тела и определяет его агрегатное состояние.

Таким образом, частота колебаний описывает большое количество процессов и оказывает воздействие на их характеристики.

Ссылка на основную публикацию
Как найти блютуз на ноуте
Чтобы включить Bluetooth на своем ноутбуке необходимо проделать несколько довольно простых манипуляций. Во-первых, убедитесь в том, что ноутбук поддерживает данную...
Как зайти в параметры компьютера
В современном мире компьютер — наш первый помощник в различных делах, будь то работа или отдых. Чтобы точно понимать, где...
Как зайти в телеграм если потерял сим
Можно предположить, что пользователь забыл номер телефона, к которому привязан его аккаунт в Телеграмме. Быть может, телефон был забыт или...
Как найти в смартфоне фонарик
Вы узнаете, как включить фонарик разными способами. Если на вашем телефоне есть встроенная камера, скорее всего, фонарик включить можно. На...
Adblock detector