Плоскости проекций V, H, W принимаются за координатные плоскости, а оси проекций X, Y, Z за координатные оси как положительные, так и отрицательные (рис. 10).
Положение точки в пространстве задается тремя координатами – X, Y, Z. Проекции точки задаются двумя координатами: а(х, y), а′(х, z), а′′(y, z).
Зная направление для положительного и отрицательного значений координатных осей, принимая во внимание свойства проекций точки, можно построить проекции точки по координатам. Рассмотрим несколько задач на эту тему.
Задача. Построить проекции точки А(–10; 40; –30) (рис. 10).
Рис. 10. Построение проекций точки А по координатам
Для построения фронтальной проекции а′ точки А справа от точки О на оси Х откладываем значение Х = –10. Вниз от точки О по направлению оси Z откладываем значение Z = –30. Пересечением перпендикуляров из точек аX и аZ,восстановленных к соответствующим осям Х и Z, определяем точку а′.
Для построения горизонтальной проекции а точки А по направлению оси Y вниз от точки О откладываем значение y = – 40. Через точку аY проводим перпендикуляр до пересечения с линией связи а′аX. Отмечаем точку а – горизонтальную проекцию точки А. По расположению фронтальной и горизонтальной проекций точки А определяем, что точка А расположена в VΙΙΙ октанте.
Для построения профильной проекции а′′ точки А через ее фронтальную проекцию а′ проводим линию связи а′аZ и на ней, вправо от точки аZ, откладываем значение y = 40. Отмечаем точку а′′ – профильную проекцию точки А.
Задача. Построить проекции точек по координатам и указать октант, в котором находится каждая из них.
Исходные данные: А(10; –30; 40), В(70; 50; –10), С(20; 15; 0), D(60; 35; 40), Е(50; –10; –25).
Решение. Порядок выполнения графической части задачи (рис. 11):
1. Проводим оси координат Х, Y, Z. Указываем положительные и отрицательные их направления.
2. Построение точек выполняем в масштабе 1:1.
Точка А (10; –30; 40):
Фронтальную проекцию а′ точки А определяем по координатам Х, Z; по оси Х откладываем 10 мм, по оси Z – 40 мм.
Горизонтальную проекцию а точки А определяем по координатам Х,(–Y), расстояние 30 мм откладываем по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Z.
Профильную проекцию а′′ точки А определяем по координатам (–Y), Z. В этом случае расстояние 30 мм откладывается по оси (–Y), совпадающей с положительным направлением оси Х. Следовательно, точка А находится во ΙΙ октанте.
Точка В (70; 50; –10):
Строим фронтальную проекцию b′ (Х = 70; Y = –10) точки А. Расстояние 10 мм нужно отложить на отрицательном направлении оси Z. Уточните: фронтальная b′ и горизонтальная b проекции точки В будут расположены на линии связи ниже оси Х. Профильная проекция b′′ точки В располагается справа от оси Z и ниже оси Х. Анализируя знаки координат (+ + – ) и расположение проекций точки, делаем вывод – точка В находится в ΙV октанте.
Точка С (20; 15; 0):
При построении этой точки очевидно, что фронтальная проекция с′ точки С лежит на оси Х, а ее профильная проекция а′′ лежит на оси Y, совпадающей с отрицательным направлением оси Х. Удаление точки С от плоскости проекций Н равно нулю (y = 0), следовательно, точка С лежит в плоскости Н, на границе Ι и ΙV октантов.
Точка D (60; 35; 40):
Все значения координат положительные, следовательно, точка D находится в Ι октанте.
При отрицательных значениях Y и Z точка располагается в ΙΙΙ октанте. Проекции такой точки располагаются:
— фронтальная проекция е′ точки Е располагается ниже оси Х, слева от оси Y;
— горизонтальная проекция е точки Е располагается выше оси Х, слева от оси Z;
— профильная проекция е′′ точки Е располагается слева от оси Z, ниже оси Х.
Вывод. Положение точки в пространстве вполне определено, если известны три ее координаты или две любые ортогональные проекции. Как следствие из этого – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки можно всегда построить недостающую ее третью ортогональную проекцию.
Рис. 11. Построение точек по координатам с указанием октантов
Рассмотри построение точки по двум заданным ортогональным проекциям.
Задача. По двум заданным ортогональным проекциям построить недостающую проекцию точки В (рис. 12).
Рис. 12. Графическое условие задачи
Решение. Анализируем графическое условие задачи: заданы фронтальная и профильная проекции точки В. Это значит, заданы все три координаты точки В. Следовательно, необходимо построить ее горизонтальную проекцию.
Порядок выполнения графической части задачи:
1. Для построения горизонтальной проекции точки В необходимо знать ХВ и УВ. Эти координаты находим на чертеже.
2. Замеряем УВ = bZ b′′ и откладываем эту координату вдоль линии связи от оси ОХ от точки bХ.
3. Строим горизонтальную проекцию точки В (рис. 13).
Рис. 13. Построение недостающей проекции точки В
ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
При ортогональном проецировании на плоскости проекций прямая линия проецируется в виде прямой. Чтобы построить проекции этой прямой линии, проходящей через заданные точки А и В, нужно построить проекции этих точек и провести прямые линии через их одноименные проекции (рис. 14). Получим:
аb – горизонтальную проекцию отрезка прямой;
а′b′ – фронтальную проекцию отрезка прямой.
Рис. 14. Проекции отрезка прямой, проходящего через две точки
Следы прямой
Прямая пересекает плоскости проекций в точках, которые называются следами прямой.
Точка пересечения прямой N с горизонтальной плоскостью проекций Н (П1) называется горизонтальным следом NH.
Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций V (П2) – фронтальным следом NV.
Точка пересечения прямой N с профильной плоскостью проекций W (П3) – профильным следом NW прямой.
Вывод:
· горизонтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в горизонтальной плоскости проекций H (П1);
· фронтальный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая во фронтальной плоскости проекций V (П2);
· профильный след прямой – это точка, принадлежащая одновременно данной прямой и лежащая в профильной плоскости проекций W (П3).
Задача. Построить точки пересечения прямой N с горизонтальной Н (П1) и фронтальной V(П2) плоскостями проекций (рис. 15аб).
Анализируя задачу, приходим к выводу, что необходимо построить горизонтальный и фронтальный следы прямой.
1. Построение фронтального следа NV.
Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и фронтальной плоскости проекций. Согласно изложенному ранее материалу, горизонтальная проекция искомой точки должна:
– лежать на оси Х;
– принадлежать горизонтальной проекции прямой N.
Порядок выполнения графической части задачи:
1.1. Отмечаем точку пересечения горизонтальной проекции n прямой N с осью Х, получаем точку nV – горизонтальную проекцию фронтального следа.
1.2. Через точку nV проводим линию связи перпендикулярно оси Х.
1.3. Находим точку пересечения линии связи с фронтальной проекцией n′ прямой N, получаем точку NV – фронтальную проекцию фронтального следа. Через эту точку прямая уходит во вторую четверть (рис. 15а) и в третью четверть (рис. 15б).
2. Построение горизонтального следа NH.
Необходимо построить точку, принадлежащую прямой N и горизонтальной плоскости проекций Н. Согласно изложенному ранее материалу, фронтальная проекция искомой точки должна:
– лежать на оси Х;
– принадлежать фронтальной проекции прямой N.
Порядок выполнения графической части задачи:
2.1. Отмечаем точку пересечения фронтальной проекции n′ прямой N с осью Х, получаем точку nH – фронтальную проекцию горизонтального следа.
2.2. Через точку nH проводим линию связи перпендикулярно оси Х.
2.3. Находим точку пересечения линии связи с горизонтальной проекцией n прямой N, получаем фронтальную проекцию фронтального следа. В этой точке прямая пересекает горизонтальную плоскость и уходит в четвертую четверть (рис. 15а,б).
| а |
| б |
Рис. 15. Построение следов прямой линии N:
а – прямая уходит во вторую четверть; б – прямая уходит в третью четверть
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-14; Нарушение авторского права страницы
В предыдущих главах были рассмотрены приемы построения чертежей в плоскости XY. Положение любой точки в этой системе координат характеризуются двумя значениями – абсциссой и ординатой. Для выполнения построений в трехмерном пространстве к этим координатам добавляется третья величина, определяющая объем того или иного изделия. Речь идет о координате Z, придающей плоским объектам объем. Умение правильно задавать координаты трехмерных объектов способствует корректному моделированию пространственных деталей. Для этих целей AutoCAD располагает тремя типами систем отсчета: трехмерные декартовые, цилиндрические и сферические координаты.
ДЕКАРТОВЫЕ КООРДИНАТЫ
Для обозначения положения точки в трехмерном пространстве при помощи декартовых координат необходимо к значениям ее координат на плоскости XY добавить третье значение – координату Z. Так, например, на рис. 10.4 изображена точка, у которой координаты в плоскости XY равны 13.19, а по оси Z – 11 единиц.
При вводе координат в этой системе в первую очередь задается координата X, затем через запятую Y и только потом Z. Например: 13,19,11. Если числовое значение координаты дробное, то разделять целую и дробную части необходимо точкой. Кроме того, пробелы между числами и запятыми не допускаются.
Попробуем построить параллелепипед из линий, с размерами 13,19,11, используя трехмерную систему координат. Для этого выберем Отрезок в главном меню. Для установки начальной точки параллелепипеда в координатах (0,0,0), воспользуемся динамическим вводом. После выбора Отрезка введем 0,0 Enter. Вместо «,» в динамическом вводе можно использовать клавишу TAB. В AutoCAD используются абсолютные и относительные координаты. В случае абсолютных координат, отсчет осуществляется от начала координат, а отсчет относительных координат осуществляется от последней поставленной точки и обозначается знаком @, абсолютных – знаком # перед вводом координат. Попробуем начертить параллелепипед, используя ввод координат.
У нас получился незаконченный параллелепипед, для завершения построения можно вручную дочертить 3 недостающие линии.
Пример ввода абсолютных координат для построения параллелепипеда.
Пример ввода относительных координат для построения параллелепипеда.
После добавления недостающих линий и размеров. Как видим, получилось так, как и требовалось.
Примечание. Если при вводе координат в трехмерном пространстве пропущено значение Z, AutoCAD автоматически присвоит ему значение по умолчанию, записанное в системной переменной ELEVATION и называемое возвышением.
При создании трехмерных объектов используются понятия возвышения (уровня плоскости XY) и высоты. Возвышение определяется Z-координатой плоскости XY, на которой объект построен. Понятно, что если возвышение равно нулю (значение по умолчанию), то уровень объекта (его плоскость) совпадает с плоскостью XY. При положительном возвышении объект находится выше плоскости XY, а при отрицательном – ниже. Что касается высоты трехмерных объектов, то она определяет расстояние, на которое объект смещен относительно возвышения.
Обычно к редактированию параметров возвышения и высоты прибегают в случае, когда необходимо построить несколько точек, у которых координата Z имеет одно и то же значение. Упрощение построений вызвано тем, что при этом достаточно будет вводить для каждой такой точки только два значения, определяющих ее положение в плоскости XY.
Как уже было отмечено, текущее значение возвышения хранится под именем системной переменной ELEVATION, а высоты – переменной THICKNEES. Для того чтобы изменить значение обоих параметров, присваиваемое вновь созданным объектам, нужно выполнить команду Elev и ответить на следующие вопросы:
Specify new default elevation :
Specify new default thickness :
Также следует отметить, что значение высоты объекта можно менять из палитры Свойства (Properties).
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
Положение точки в цилиндрических координатах также определяется тремя величинами, однако одно из них – угловое.
Как известно, круговой цилиндр образуется путем вращения образующей 2-3 (рис. 10.5а) по окружности, описывая угол 360°. Именно этот принцип положен в концепцию цилиндрических координат. Определяя положение точки, необходимо задать вначале радиус цилиндра (0-1), затем угол вращения образующей (1-2) и, наконец, высоту цилиндра (2-3). Так, например, точка, изображенная на рис. 10.36, была построена относительно текущей ПСК после ввода в командную строку 23
1. Отложить на осях X, Y, Ζ соответствующие координаты точки А. Получаем точки Ax, Ay, Az
2. Горизонтальная проекция А1 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Ay, проведенных параллельно осям X и Y
3. Фронтальная проекция А2 находится на пересечении линий связи из точек Ax и Az, проведенных параллельно осям X и Ζ
4. Профильная проекция А3 находится на пересечении линий связи из точек Az и Ay, проведенных параллельно осям Ζ и Y
3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций
Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П3(проекция на П2или П1), координатой У – удалённость от плоскости П2(проекция на П3или П1), координатой Z – удаленность от плоскости П1(проекция на П3или П2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Классификация точек
Точка общего положения. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).
На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.
Точки частного положения. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.AП3,то точка ХА=0; ВП3,то точка ХВ=0; СП2,то точкаYC=0;DП1,то точкаZD=0.
Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(GOZ,то точка ХG=0,YG=0).
3.3. Взаимное положение точек в пространстве
Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.
На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.
Рис. 3.4. Варианты взаимного расположения точек: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж
Их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: YА>YВ, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П2и ближе к наблюдателю, чем точкаB; ZА>ZВ, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П1и ближе к наблюдателю, чем точкаB; XА
Рис. 3.5. Конкурирующие точки: а – наглядное изображение; б – комплексный чертёж
Их взаимное расположение можно оценить по удалённости к плоскостям проекций следующим образом:
YА=YВ=YD, то точки А, В и D равноудалены от плоскости П2, и их горизонтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А1В1]llОХ и [А3В3]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П2;
ZА=ZВ=ZС, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П1, и их фронтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А2В2]llОХ и [А3С3]llOY. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П1;
XА=XC=XD, то точки А, C и D равноудалены от плоскости П3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены соответственно на прямых [А1C1]llOY и [А2D2]llOZ . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П3.
3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 3.3 даны три пары таких точек, у которых: XА=XD; YА=YD; ZD > ZА; XA=XC; ZA=ZC; YC > YA; YA=YB; ZA=ZB; XB > XA.
Различают горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD, фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC, профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.
1. Точка – линейный геометрический образ, одно из основных понятий начертательной геометрии. Положение точки в пространстве можно определить её координатами. Каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A1(XA; YA); фронтальная – A2(XA; ZA); профильная – A3(YA; ZA). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. По двум проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически.
3. Точка по отношению к плоскостям проекций может занимать в пространстве как общее, так и частное положение.
4. Точка общего положения – точка, не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций, т. е. лежащая в пространстве между плоскостями проекций. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0).
5. Точка частного положения – это точка, принадлежащая одной или двум плоскостям проекций. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле плоскости проекций, другие две – на осях проекций.
6. Конкурирующие точки – точки, одноименные координаты которых совпадают. Существуют горизонтально конкурирующие точки, фронтально конкурирующие точки, профильно конкурирующие точки.
Точка общего положения
Точка частного положения
Способы деятельности, необходимые для решения задач
– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций в пространстве;
– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже.
Вопросы для самопроверки
1. Как устанавливается связь расположения координат на комплексном чертеже в системе трех плоскостей проекций П1П2П3 с координатами проекций точек?
2. Какими координатами определяется удалённость точек до горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостей проекций?
3. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направлении, перпендикулярном профильной плоскости проекций П3?
4. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направлении, параллельном оси OZ?
5. Какими координатами, определяется горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция точки?
7. В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой пространства и где располагаются две другие проекции этой точки?
8. Может ли точка принадлежать одновременно трём плоскостям проекций и в каком случае?
9. Как называют точки, одноимённые проекции которых совпадают?
10. Каким образом можно определить, какая из двух точек ближе к наблюдателю, если их фронтальные проекции совпадают?
Задания для самостоятельного решения
Рис. 3.6. Условие к заданию 1
1. Дать наглядное изображение точекA,B,C,Dотносительно плоскостей проекций П1, П2. Точки заданы своими проекциями (рис. 3.6).
2. Построить проекции точек А и В по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20). Построить проекцию точки С, расположенной симметрично точке А относительно фронтальной плоскости проекций П2.
3. Построить проекции точек А, В, С по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30; -20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D, расположенную симметрично точке С относительно осиOХ.
Пример решения типовой задачи
Задача 1. Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3)
