Какие векторы образуют базис на плоскости

Какие векторы образуют базис на плоскости

В случае неколлинеарности двух векторов аи b любой третий вектор с, компланарный с, а и b, как следует из рисунка 16, можно однозначно представить в виде

с= xa + yb, (1)

Линейной комбинацией векторов а1, а2, , аn называется вектор

где х1, х2, …, хn – действительные числа, называемые коэффициентами линейной комбинации.

Если вектор а представлен в виде линейной комбинации (2), то будем говорить, что а разложен по векторам а1, а2, …, аn. В частности, на основании равенства (1) мы можем сказать, что вектор сразложен по векторам aи b.

Векторным базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара (е1; е2) неколлинеарных векторов этой плоскости.

Можно заметить, что каждая плоскость содержит бесконечное мно-
жество базисов.

По аналогии с выводом, сделанным из рисунка 16, можно утверждать, что любой вектор а некоторой плоскости можно однозначно представить в виде линейной комбинации базисных векторов е1, е2 этой плоскости, т. е.

а = хе1 + уе2. (3)

Из этого следует вывод: если на плоскости выбран базис (е1; е2), то каждому вектору а этой плоскости ставится в соответствие един-
ственная упорядоченная пара действительных чисел х, y и, обратно, каждой упорядоченной паре чисел х, y поставлен в соответствие един-
ственный вектор а, который определяется равенством (3). При этом числа х, y мы будем называть координатами вектора а в базисе (е1; е2).

Ортонормированным базисом называется такой базис (i; j), который удовлетворяет условиям: i^ j, | i| = | j| = 1, т. е. векторы i, j этого базиса единичны и взаимно перпендикулярны. В этом случае, если
а = (х; y) в базисе (i; j), то а = хi + yj и наоборот. Числа х, y называются координатами вектора а в базисе (i; j).

Два вектора а = (x1; y1), b = (x2; y2) образуют базис на плоскости тогда и только тогда, когда определитель второго порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от нуля.

Пример 1. Разложение вектора а= (–3; 7) по базису (i; j) имеет вид а= 3i+ 7j. Если же а = 2i – 3j, то координатами вектора а в базисе
(i; j) будут (2; –3).

Чтобы найти координаты вектора , надо от координат конца В этого вектора вычесть координаты его начала А, т. е. если A(x1; y1), B(x2; y2), то =

Читайте также:  Коаксиальный кабель что это такое на телевизоре

Пример 2.Пусть А(3; –5), В(–2; 3), тогда = (–2 – 3; 3 – (–5)) =
= (–5; 8).

Тест 1. Найти координаты вектора , если А(3; 4), В(5; 7):

Пример 3. Пара векторов а = (1; 2), b = (–3; 5) образует базис на плоскости, так как определитель, составленный из координат, не равен 0: = 1 × 5 – 2 × (–3) = 11 0.

Тест 2. Определить, какие из следующих пар векторов не образуют базис на плоскости:

Векторным базисом пространства называется любая упорядоченная тройка (1, 2, 3) некомпланарных векторов этого пространства.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением a × b двух ненулевых векторов a и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. В случае равенства нулю хотя бы одного из этих векторов скалярное произведение равно нулю. Таким образом, по определению имеем

(4)

где j – угол между векторами a и b.

Скалярное произведение векторов a, b обозначается также при помощи символов ab.

Знак скалярного произведения определяется величиной j:

если 0 £ j £ то a × b ³ 0,

если же

Базисом на плоскости называется упорядоченная пара линейно независимых (т.е. неколлинеарных) векторов. Упорядоченная пара векторов означает, что указано, какой из этих векторов является первым, а какой вторым.

Любой вектор на плоскости может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом в единственном числе.

Выражение называется разложением вектора по базису . Докажем что это выражение единственное (методом от противного)

Согласно 2 определению линейной зависимости вектор линейно зависисмы т.е. колинеарны, а это невозможно т.к. они базисные, следовательно предположение о втором разложении не верно.

Замечание: коэффициенты называют координатами вектора в данном базисе.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов.

Каждый вектор может быть представлен как линейная комбинация базисных векторов и притом единственным образом.

Это размножение так же единственно, доказывается аналогично R 2

Например, . Здесь , , − базисные векторы. Коэффициенты , , разложения вектора по базисным векторам называются координатами вектора в этом базисе.

Читайте также:  Как выйти из gmail на всех устройствах

В трехмерном пространстве широко применяется декартова (прямоугольная) система координат Oxyz с базисными векторами , , . Эти векторы ортогональны (т.е. взаимно перпендикулярны) и нормированы (т.е. имеют длину равную 1). Базис , , поэтому называется ортонормированным. Любой вектор в декартовой системе координат может быть единственным образом представлен в виде .

Особенность декартовой системы координат в том, что коэффициенты этого разложения , , (т.е. координаты вектора) являются проекциями вектора на соответствующие оси Ox, Oy и Oz.

5.. Проекция вектора на ось, свойства. Прямоугольная система координат (…).

Проекцией вектора АВ длина отрезка А1В1взятая со знаком + если направление вектора А1В1совпадает с направление оси и с – если нет.

Длина (модуль) вектора определяется по формуле:

.

Направление вектора задается углами α, β, γ, образованными ими с координатными осями Ox, Oy и Oz. Косинусы этих углов (они называются направляющими косинусами вектора) определяются по формулам:

, , .

Направляющие косинусы связаны соотношением

.

Если векторы и коллинеарные и сонаправленные, то их направляющие косинусы равны:

, , .

Откуда, введя обозначение , получим условия коллинеарности векторов и :

.

Заметим, что если векторы и противоположно направлены, то в равенстве следует перед поставить знак минус.

Если вектор задается направленным отрезком , причем и , то координаты вектора равны разности соответствующих координат точек конца и начала вектора

, , ,

при этом длина вектора определяется следующим образом

.

При сложении векторов в прямоугольной системе координат их координаты складываются

.

При умножении вектора на число координаты получаемого вектора умножаются на это число

.

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не все равные нулю одновременно и такие, что

Система векторов , называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда
Теорема: Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один вектор системы можно представить, как линейную комбинацию остальных.

Читайте также:  Драйвер сетевого сканера kyocera

Доказательство:

1)Пусть линейно зависимая система, тогда существует и и среди λ есть λ не равная нулю.

2)Обратное утверждение:

Тогда по определению линейно зависимая.

Замечание:Любая линейно независимая система не содержит нулевого вектора.

Базис в пространстве (ЛВП)

Элементы называются базисом линейного векторного пространства (ЛВП), если — максимальная по включению линейно независимая система векторов L.

(Максимальной по включению – система линейно независимая, но добавление любого вектора делает систему линейно зависимой).

Теорема: Система векторов образует базис ЛВП Ln, тогда и только тогда, когда любой вектор принадлежащий Ln можно представить как линейную камбинацию векторов базиса и это разложение единственно.

— координаты в базисе

Теорема:

— базис ó

λ – координаты вектора в заданном базисе.

Базис в плоскости

Теорема: Любые 3-и вектора на плоскости линейно зависимые.

Итак:

Любые 3 вектора линейно зависимы

Вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если вектор а не параллелен вектору b, то a и b линейно независимы

Максимальное количество линейно независимых векторов на плоскости = 2.

Любые два вектора принадлежащие V2 и не параллельные, образуют базис на плоскости.

Декартов базис

Теорема: Разложение вектора по базису единственно.

Доказательство: (от противного)

Билет 7

Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой, критерий ортогональности векторов.

Скалярное произведение называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Свойства векторного произведения:

Проекция одного вектора на другой:

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат:

Билет 10

Различные уравнения плоскости в пространстве, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями –угол между их нормалями.

Уравнения плоскости в пространстве:

Билет 9

Смешанное произведение, его геометрический смысл, критерий компланарности векторов.

Смешанное произведение 3-х векторов:

Условие комплонарности:

Свойства смешанного произведения:

1)Если abc>0 , то тройка векторов правая

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-08; Нарушение авторского права страницы

Ссылка на основную публикацию
Как удалить файл php
Как удалить файл с моего сервера с помощью PHP если файл находится в другой директории? вот мой макет страницы: projects/backend/removeProjectData.php...
Как создать словарь в word
Меня интересует вот такая тема: когда печатаешь текст на компе, например, с ошибкой правописания, появляется подсказка - как правильно надо....
Как создать таблицу на компьютере
Как создать таблицу в Word? Сейчас я просто не представляю, как можно работать без такой нужной и полезной программы, как...
Как удалить файл если он используется
Не редко встречаются ситуации, когда нужно удалить файл, но Windows сообщает, что файл занят другим процессом. Это может быть важный...
Adblock detector