Когда квадратное уравнение имеет бесконечное множество решений

Когда квадратное уравнение имеет бесконечное множество решений

Что такое линейное уравнение? Что называется корнем линейного уравнения? Сколько корней имеет линейное уравнение? Что значить решить линейное уравнение?

В курсе алгебры 7 класса линейное уравнение определяется следующим образом.

Определение.

Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида ax=b, где a и b — числа, x — переменная.

Корнем линейного уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Например, корень уравнения 5x=40 равен 8, так как при x=8 это уравнение превращается в верное числовое равенство:

Количество корней линейного уравнения зависит от значения a (коэффициента перед x).

При a≠0 линейное уравнение имеет единственное решение.

Чтобы найти x, обе части уравнения нужно разделить на число, стоящее перед иксом:

Любое число можно разделить на 2, 5 и числа, которые могут быть представлены в виде произведения только двоек и пятёрок ( например, любое число можно разделить на 10, так как 10=2∙5; на 40, так как 40=2∙2∙2∙5).

В остальных случаях ответ записывают в виде обыкновенной дроби (если дробь неправильная, следует выделить из нее целую часть).

При a=0, b≠0 линейное уравнение

При любом значении x левая часть уравнения равна нулю, а правая — отлична от нуля. То есть нет ни одного значения x, при котором уравнение обратилось бы в верное числовое равенство.

При a=0, b=0 линейное уравнение

имеет бесконечное множество решений.

При любом значении x левая часть уравнения 0x=0 обращается в нуль, в правой части также стоит нуль. Значит, любое число является корнем этого уравнения, то есть, при любом значении x это уравнение обращается в верное числовое равенство.

Возможные решения линейных уравнений можно изобразить в виде схемы.

Решить линейное уравнение — значит, найти корень (корни) уравнения, либо убедиться, что уравнение не имеет корней.

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

— это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

  1. Не имеют корней;
  2. Имеют ровно один корень;
  3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда — это просто число D = b 2 − 4 ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

  1. Если D D = 0, есть ровно один корень;
  2. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

  1. x 2 − 8 x + 12 = 0;
  2. 5 x 2 + 3 x + 7 = 0;
  3. x 2 − 6 x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D x 2 − 2 x − 3 = 0;

  • 15 − 2 x − x 2 = 0;
  • x 2 + 12 x + 36 = 0.
  • Первое уравнение:
    x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
    D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2 x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
    D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    Наконец, третье уравнение:
    x 2 + 12 x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Читайте также:  Как зарядить аккумулятор сотового телефона

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется , если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид a x 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

    Решение неполного квадратного уравнения

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (− c / a ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (− c / a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (− c / a ) c / a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    x 2 − 7 x = 0 ⇒ x · ( x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5 x 2 + 30 = 0 ⇒ 5 x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4 x 2 − 9 = 0 ⇒ 4 x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

    Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

    Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

    Важное замечание!
    Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

    За этот урок мы решим 33 квадратных уравнения!

    Всех видов, всеми способами.

    Ты точно разберешься с этой темой!

    И самое главное..

    Зачем нужно уметь хорошо и быстро решать квадратные уравнения?

    Решение многих других уравнений сводится к решению именно квадратных уравнений!

    Будет обидно на экзамене решить какое-нибудь сложное уравнение и запнуться на квадратном.

    Потому, давай начнем!

    Что такое квадратное уравнение?

    В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное» .

    Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате.

    И при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

    Если говорить научным, математическим языком, то.

    Квадратное уравнение, это уравнение вида

    , , – некоторые числа, причем .

    и называют коэффициентами квадратного уравнения,

    а – свободным членом .

    Сначала научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое

    Пример 1

    Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на

    Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

    Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

    Пример 2

    Домножим левую и правую часть на :

    Это уравнение, хотя в нем изначально был , не является квадратным!

    Пример 3

    Домножим все на :

    Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену , то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

    Пример 4

    Вроде бы есть , но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

    Видишь, сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

    Теперь попробуй сам определить, какие из следующий уравнений являются квадратными, а какие нет

    Проверь ответы

    1. квадратное;
    2. квадратное;
    3. не квадратное;
    4. не квадратное;
    5. не квадратное;
    6. квадратное;
    7. не квадратное;
    8. квадратное.

    Математики условно делят все квадратные уравнения на вида:

    Два вида квадратных уравний — полные и неполные

    Полные квадратные уравнения

    Полные квадратные уравнения — это уравнения, в которых коэффициенты и , а также свободный член с не равны нулю (как в примере ).

    Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

    Неполные квадратные уравнения

    Неполные квадратные уравнения – это уравнения, в которых коэффициент и или свободный член с равны нулю:

    Неполные они, потому что в них не хватает какого-то элемента.

    Читайте также:  Видеокарта asus gt 630 2gb

    Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате. Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

    Зачем придумали такое деление? Казалось бы, есть икс в квадрате, и ладно.

    Такое деление обусловлено методами решения.

    Рассмотрим каждый из них подробнее.

    Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

    Решение неполных квадратных уравнений

    Неполные квадратные уравнения бывают типов:

    1. , в этом уравнении коэффициент равен .
    2. , в этом уравнении свободный член равен .
    3. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны .

    Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

    Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

    Выражение может быть как отрицательным, так и положительным.

    Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел – результатом всегда будет положительное число.

    Так что: если , то уравнение не имеет решений.

    А если 0"> , то получаем два корня . Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что не может быть меньше .

    Давай попробуем решить несколько примеров.

    Пример 5

    Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

    Ответ:

    Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком.

    Пример 6

    Ответ:

    Пример 7

    Ой! Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

    Для таких уравнений, в которых нет корней, математики придумали специальный значок – (пустое множество). И ответ можно записать так:

    Ответ:

    Вынесем общим множитель за скобки:

    Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

    Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

    Пример 8

    Вынесем общий множитель за скобки:

    У этого уравнения два корня.

    Ответ:

    Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

    Здесь обойдемся без примеров.

    Решение полных квадратных уравнений

    Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида:

    Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

    Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта!

    Даже неполное.

    Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

    1. Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта.

    Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

    Если 0"> , то уравнение имеет 2 корня. Нужно особое внимание обратить на шаг 2.

    Дискриминант D указывает нам на количество корней уравнения.

    Алгоритм Пример:

    Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:

    Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно.

    Главное правильно определить коэффициенты и и свободный член .

    Шаг 2. Вычислить дискриминант.

    Вот его формула:

    Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:

    • Если , то формула на шаге сократится до . Таким образом, уравнение будет иметь всего корень.
    • Если , то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге . Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

    Почему возможно разное количество корней?

    Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения.

    График функции является параболой:

    В частном случае, которым является квадратное уравнение, .

    А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось ).

    Парабола может вообще не пересекать ось , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси ) или двух точках.

    Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент . Если 0"> , то ветви параболы направлены вверх, а если – то вниз.

    Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

    Пример 9

    Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

    Шаг 2.

    0"> , а значит уравнение имеет два корня.

    Шаг 3.

    Ответ:

    Пример 10

    Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

    Шаг 2.

    , а значит уравнение имеет один корень.

    Ответ:

    Пример 11

    Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

    Шаг 2.

    , азначит мы не сможем извлечь корень из дискриминанта. Корней уравнения не существует.

    Теперь мы знаем, как правильно записывать такие ответы.

    Ответ: Корней нет

    2. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета

    Познакомили поэта с теоремою Виета.
    Оба корня он сложил, минус он получил.
    А корней произведенье дает из уравнения.

    Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен ):

    Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

    Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна , а произведение корней равно .

    Читайте также:  Как перенумеровать авансовые отчеты в 1с

    Использовать теорему Виета очень легко.

    Нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

    Рассмотрим несколько примеров:

    Пример 12

    Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. .

    Сумма корней уравнения равна , т.е. получаем первое уравнение:

    А произведение равно :

    Составим и решим систему:

    Подберем такие пары чисел, произведение которых равно , и проверим, равна ли их сумма :

    • и . Сумма равна ;
    • и . Сумма равна ;
    • и . Сумма равна .

    и являются решением системы:

    Таким образом, и – корни нашего уравнения.

    Ответ: ; .

    Пример 13

    Уравнение приведенное, а значит:

    Свободный член отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

    Подберем такие пары чисел, произведение которых равно , а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

    Очевидно, что под первое условие подходят только корни и :

    Ответ:

    Пример 14

    Уравнение приведенное, а значит:

    Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

    Подберем такие пары чисел, произведение которых равно :

    Очевидно, что корнями являются числа и .

    Ответ:

    КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ

    Что такое квадратное уравнение?

    Квадратными называются уравнения, в которых присутствует переменная в квадрате, и при этом нет переменной в степенях, больших .

    Другими словами, квадратное уравнение – это уравнение вида , где – неизвестное, , , – некоторые числа, причем .

    Число называют старшим или первым коэффициентом квадратного уравнения, – вторым коэффициентом , а – свободным членом .

    Потому что если , уравнение сразу станет линейным, т.к. пропадет .

    При этом и могут быть равны нулю. В этом стулчае уравнение называют неполным.

    Если же все слагаемые на месте, то есть , уравнение – полное.

    Методы решения неполных квадратных уравнений

    Для начала разберем методы решений неполных квадратных уравнений – они проще.

    Можно выделить типа таких уравнений:

    I. , в этом уравнении коэффициент и свободный член равны .

    II. , в этом уравнении коэффициент равен .

    III. , в этом уравнении свободный член равен .

    Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

    Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

    Число, возведенное в квадрат, не может быть отрицательным, ведь при перемножении двух отрицательных или двух положительных чисел результатом всегда будет положительное число. Поэтому:

    если , то уравнение не имеет решений;

    если 0"> , имеем учаем два корня

    Эти формулы не нужно запоминать. Главное помнить, что не может быть меньше .

    Примеры решения квадратных уравнений

    Пример 15

    Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком!

    Пример 16

    Квадрат числа не может быть отрицательным, а значит у уравнения

    Чтобы коротко записать, что у задачи нет решений, используем значок пустого множества .

    Пример 17

    Итак, это уравнение имеет два корня: и .

    Вынесем общим множитель за скобки:

    Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

    Итак, данное квадратное уравнение имеет два корня: и .

    Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

    Методы решения полных квадратных уравнений

    1. Дискриминант

    Решать квадратные уравнения этим способом легко, главное запомнить последовательность действий и пару формул. Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

    Алгоритм Пример:

    Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду:

    Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно.

    Главное правильно определить коэффициенты и и свободный член .

    Шаг 2. Вычислить дискриминант. Вот его формула:

    Шаг 3. Найти корни уравнения по формуле:

    Ты заметил корень из дискриминанта в формуле для корней?

    Но ведь дискриминант может быть отрицательным.

    Нужно особое внимание обратить на шаг 2. Дискриминант указывает нам на количество корней уравнения.

    • Если 0"> , то уравнение имеет корня:
    • Если , то уравнение имеет одинаковых корня, а по сути, один корень:

      Такие корни называются двукратными.

    • Если , то корень из дискриминанта не извлекается. Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

    Почему возможно разное количество корней?

    Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции является параболой:

    В частном случае, которым является квадратное уравнение, .

    А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось ).

    Парабола может вообще не пересекать ось , либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси ) или двух точках.

    Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент . Если 0"> , то ветви параболы направлены вверх, а если – то вниз.

    4 примера решения квадратных уравнений

    Ссылка на основную публикацию
    Клавиатура на айфоне фото
    Восемь лет назад Стив Джобс анонсировал первый смартфон компании Apple. Одной из главных особенностей iPhone являлась возможность навигации по меню...
    Какие комбинации клавиш необходимы для получения символов
    Здравствуйте! Вы никогда не задумывались, сколько порой приходится тратить времени на обычные операции: выделить что-то мышкой, скопировать, затем вставить в...
    Какие компрессоры стоят в холодильниках бирюса
    С появлением широкого ассортимента импортного холодильного оборудования бытовая техника отечественного производства постепенно отошла на второй план. Однако ошибочно думать, что...
    Клавиатура не отрывая пальца
    Непрерывный ввод — это функция, которая позволяет вводить текст, проведя пальцем по клавиатуре. Это работает следующим образом. Допустим, вам нужно...
    Adblock detector