Квадрат вписанный в прямоугольный треугольник свойства

Квадрат вписанный в прямоугольный треугольник свойства

ч РТСНПХЗПМШОЩК ФТЕХЗПМШОЙЛ ЧРЙУБО ЛЧБДТБФ ФБЛ, ЮФП ПДОБ ЙЪ ЕЗП УФПТПО ОБИПДЙФУС ОБ ЗЙРПФЕОХЪЕ. вПЛПЧЩЕ ПФТЕЪЛЙ ЗЙРПФЕОХЪЩ ТБЧОЩ m Й n . оБКДЙФЕ РМПЭБДШ ЛЧБДТБФБ.

рПДУЛБЪЛБ

юЕТЕЪ ЧЕТЫЙОХ ЛЧБДТБФБ, РТЙОБДМЕЦБЭХА ЛБФЕФХ ДБООПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ, РТПЧЕДЙФЕ РТСНХА, РБТБММЕМШОХА ДТХЗПНХ ЛБФЕФХ.

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ ЧЕТЫЙОЩ M Й N ЛЧБДТБФБ MNKL ОБИПДСФУС УППФЧЕФУФЧЕООП ОБ ЛБФЕФБИ AC Й BC РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC , Б ЧЕТЫЙОЩ K Й L — ОБ ЗЙРПФЕОХЪЕ AB . рТЙ ЬФПН AL = m , BK = n .

юЕТЕЪ ФПЮЛХ N РТПЧЕДЈН РТСНХА, РБТБМЕММШОХА AC , ДП РЕТЕУЕЮЕОЙС У ЗЙРПФЕОХЪПК AB Ч ФПЮЛЕ P . йЪ ТБЧЕОУФЧБ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ AML Й PNK УМЕДХЕФ, ЮФП PK = AL = m .

уФПТПОБ NK ХЛБЪБООПЗП ЛЧБДТБФБ ЕУФШ ЧЩУПФБ РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ PNB , РТПЧЕДЈООБС ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ РТСНПЗП ХЗМБ. рПЬФПНХ

уМЕДПЧБФЕМШОП, РМПЭБДШ ЛЧБДТБФБ MNLK ТБЧОБ mn .

пВПЪОБЮЙН BAC = . фПЗДБ BKN = . йЪ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ALM Й NKB ОБИПДЙН, ЮФП

рХУФШ ЧЕТЫЙОЩ M Й N ЛЧБДТБФБ MNKL ОБИПДСФУС УППФЧЕФУФЧЕООП ОБ ЛБФЕФБИ AC Й BC РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC , Б ЧЕТЫЙОЩ K Й L — ОБ ЗЙРПФЕОХЪЕ AB . рТЙ ЬФПН AL = m , BK = n .

юЕТЕЪ ФПЮЛХ N РТПЧЕДЈН РТСНХА, РБТБМЕММШОХА AC , ДП РЕТЕУЕЮЕОЙС У ЗЙРПФЕОХЪПК AB Ч ФПЮЛЕ P . йЪ ТБЧЕОУФЧБ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ AML Й PNK УМЕДХЕФ, ЮФП PK = AL = m .

уФПТПОБ NK ХЛБЪБООПЗП ЛЧБДТБФБ ЕУФШ ЧЩУПФБ РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ PNB , РТПЧЕДЈООБС ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ РТСНПЗП ХЗМБ. рПЬФПНХ

уМЕДПЧБФЕМШОП, РМПЭБДШ ЛЧБДТБФБ MNLK ТБЧОБ mn .

пВПЪОБЮЙН BAC = . фПЗДБ BKN = . йЪ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ALM Й NKB ОБИПДЙН, ЮФП

рХУФШ ЧЕТЫЙОЩ M Й N ЛЧБДТБФБ MNKL ОБИПДСФУС УППФЧЕФУФЧЕООП ОБ ЛБФЕФБИ AC Й BC РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ ABC , Б ЧЕТЫЙОЩ K Й L — ОБ ЗЙРПФЕОХЪЕ AB . рТЙ ЬФПН AL = m , BK = n .

юЕТЕЪ ФПЮЛХ N РТПЧЕДЈН РТСНХА, РБТБМЕММШОХА AC , ДП РЕТЕУЕЮЕОЙС У ЗЙРПФЕОХЪПК AB Ч ФПЮЛЕ P . йЪ ТБЧЕОУФЧБ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ AML Й PNK УМЕДХЕФ, ЮФП PK = AL = m .

Читайте также:  Как удалить чернила с бумаги

уФПТПОБ NK ХЛБЪБООПЗП ЛЧБДТБФБ ЕУФШ ЧЩУПФБ РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ PNB , РТПЧЕДЈООБС ЙЪ ЧЕТЫЙОЩ РТСНПЗП ХЗМБ. рПЬФПНХ

уМЕДПЧБФЕМШОП, РМПЭБДШ ЛЧБДТБФБ MNLK ТБЧОБ mn .

пВПЪОБЮЙН BAC = . фПЗДБ BKN = . йЪ РТСНПХЗПМШОЩИ ФТЕХЗПМШОЙЛПЧ ALM Й NKB ОБИПДЙН, ЮФП

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

Читайте также:  Ведьмак 2 деактивировать чародейские печати

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Определение

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого один угол прямой.

Таким образом, прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма:

(sim) противоположные стороны попарно равны;

(sim) диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Теоремы: свойства прямоугольника

1) Все углы прямоугольника прямые.

2) Диагонали прямоугольника равны.

Доказательство

1) Пусть (angle A=90^circ) . Т.к. в параллелограмме сумма соседних углов равна (180^circ) , то (angle B=180^circ-angle A=90^circ) .

Т.к. в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle C=angle A=90^circ, angle D=angle B=90^circ) , чтд.

2) Рассмотрим прямоугольник (ABCD) .

Прямоугольные треугольники (ACD) и (DBA) равны по двум катетам ( (CD = BA) , (AD) – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т.е. (AC = BD) .

Следствие

Таким образом, половинки диагоналей в прямоугольнике равны, т.е. (OA=OB=OC=OD) .

Теоремы: признаки прямоугольника

1) Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.

2) Если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то он – прямоугольник.

Доказательство

1) Пусть в параллелограмме (ABCD) диагонали равны.

Треугольники (ABD) и (DCA) равны по трем сторонам ( (AB = CD) , (BD = AC) , (AD) – общая сторона). Отсюда следует, что (angle A = angle D) . Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то (angle A = angle C) и (angle B = angle D) . Таким образом, (angle A = angle B = angle C = angle D) . Параллелограмм – выпуклый четырехугольник, поэтому (angle A + angle B + angle C + angle D = 360^circ) . Следовательно, (angle A = angle B = angle C = angle D = 90^circ) .

2) Рассмотрим четырехугольник (ABCD) :

Т.к. (angle A+angle B=180^circ) – односторонние углы при прямых (AD) и (BC) и секущей (AB) , следовательно, (ADparallel BC) .

Аналогично доказывается, что (ABparallel CD) . Значит, (ABCD) – параллелограмм. Т.к. у него к тому же все углы прямые, то по определению это прямоугольник.

Читайте также:  Assassins creed unity советы

Определение

Два эквивалентных определения квадрата:

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат – это ромб, у которого один угол прямой.

Свойства квадрата

Так как квадрат является прямоугольником и ромбом, то он обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба:

(sim) Все углы квадрата равны (90^circ) ;

(sim) Все стороны квадрата равны;

(sim) Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Ссылка на основную публикацию
Какие комбинации клавиш необходимы для получения символов
Здравствуйте! Вы никогда не задумывались, сколько порой приходится тратить времени на обычные операции: выделить что-то мышкой, скопировать, затем вставить в...
Как удалить файл php
Как удалить файл с моего сервера с помощью PHP если файл находится в другой директории? вот мой макет страницы: projects/backend/removeProjectData.php...
Как удалить файл если он используется
Не редко встречаются ситуации, когда нужно удалить файл, но Windows сообщает, что файл занят другим процессом. Это может быть важный...
Какие компрессоры стоят в холодильниках бирюса
С появлением широкого ассортимента импортного холодильного оборудования бытовая техника отечественного производства постепенно отошла на второй план. Однако ошибочно думать, что...
Adblock detector