Квадратичная форма положительно определена

Квадратичная форма положительно определена

Квадратичной формойf(х1, х2. хn) от n переменных называют сумму, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятым с некоторым коэффициентом:f(х1, х2. хn) =(aij=aji).

Матрицу А, составленную из этих коэффициентов, называют матрицей квадратичной формы. Это всегда симметрическаяматрица (т.е. матрица, симметричная относительно главной диагонали,aij=aji).

В матричной записи квадратичная форма имеет вид f(Х) = Х Т AX, где

. В самом деле

Например, запишем в матричном виде квадратичную форму .

Для этого найдем матрицу квадратичной формы. Ее диагональные элементы равны коэффициентам при квадратах переменных, а остальные элементы — половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

Пусть матрица-столбец переменных X получена невырожденным линейным преобразовании матрицы-столбца Y, т.е. X = CY, где С — невырожденная матрица n-го порядка. Тогда квадратичная форма f(X) = Х T АХ = (CY) T A(CY) = (Y T C T )A(CY) =Y T (C T AC)Y.

Таким образом, при невырожденном линейном преобразовании С матрица квадратичной формы принимает вид: А * =C T AC.

Например, найдем квадратичную форму f(y1, y2), полученную из квадратичной формыf(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2— 3х2 2 линейным преобразованием .

Квадратичная форма называется канонической(имеетканонический вид), если все ее коэффициентыaij= 0 приi≠j, т.е.f(х1, х2. хn) = a11 x1 2 + a22 x2 2 + … + ann xn 2 = .

Ее матрица является диагональной.

Теорема(доказательство здесь не приводится). Любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Для этого вначале выделим полный квадрат при переменной х1:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной х2:

Отметим, что канонический вид квадратичной формы определяется неоднозначно (одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду разными способами 1 ). Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. В частности, число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду (например, в рассмотренном примере всегда будет два отрицательных и один положительный коэффициент). Это свойство называютзаконом инерции квадратичных форм.

Читайте также:  Wdu getportnumber не найдена в библиотеке

Также следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы, называемый рангом квадратичной формы, равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линейных преобразованиях.

Квадратичную форму f(X) называютположительно(отрицательно)определенной, если при всех значениях переменных, не равных одновременно нулю, она положительна, т.е.f(X) > 0 (отрицательна, т.е.f(X) 2 + х2 2 — положительно определенная, т.к. представляет собой сумму квадратов, а квадратичная формаf2(X) = -x1 2 + 2x1х2— х2 2 — отрицательно определенная, т.к. представляет ее можно представить в видеf2(X) = -(x1— х2) 2 .

В большинстве практических ситуации установить знакоопределенность квадратичной формы несколько сложнее, поэтому для этого используют одну из следующих теорем (сформулируем их без доказательств).

Теорема. Квадратичная форма является положительно (отрицательно) определенной тогда и только тогда, когда все собственные значения ее матрицы положительны (отрицательны).

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы этой формы положительны.

Главным (угловым) миноромk-го порядка матрицы Аn-го порядка называют определитель матрицы, составленный из первыхkстрок и столбцов матрицы А ().

Отметим, что для отрицательно определенных квадратичных форм знаки главных миноров чередуются, причем минор первого порядка должен быть отрицательным.

Например, исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2+ 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(3 -) – 4 = (6 — 2- 3+ 2 ) – 4 = 2 — 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – положительно определенная.

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1=a11= 2 > 0. Главный минор второго порядка2== 6 – 4 = 2 > 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – положительно определенная.

Исследуем на знакоопределенность другую квадратичную форму, f(х1, х2) = -2x1 2 + 4х1х2— 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (-2 -)* *(-3 -) – 4 = (6 + 2+ 3+ 2 ) – 4 = 2 + 5+ 2 = 0;D= 25 – 8 = 17;. Следовательно, квадратичная форма – отрицательно определенная.

Читайте также:  Как отключить обновление программ на iphone

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1=a11= = -2 0. Следовательно, по критерию Сильвестра квадратичная форма – отрицательно определенная (знаки главных миноров чередуются, начиная с минуса).

И в качестве еще одного примера исследуем на знакоопределенность квадратичную форму f(х1, х2) = 2x1 2 + 4х1х2— 3х2 2 .

Способ 1. Построим матрицу квадратичной формы А = . Характеристическое уравнение будет иметь вид= (2 -)* *(-3 -) – 4 = (-6 — 2+ 3+ 2 ) – 4 = 2 +- 10 = 0;D= 1 + 40 = 41;. Одно из этих чисел отрицательно, а другое – положительно. Знаки собственных значений разные. Следовательно, квадратичная форма не может быть ни отрицательно, ни положительно определенной, т.е. эта квадратичная форма не является знакоопределенной (может принимать значения любого знака).

Способ 2. Главный минор первого порядка матрицы А 1=a11= 2 > 0. Главный минор второго порядка2== -6 – 4 = -10 2 + 2x1х2 + х2 2 — x1 2 — х2 2 =

Полный экспорт" 423 Положительная обратная связь 233 Положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма 141 Положительное временное предпочтение [c.482]

Имеется ряд необходимых и достаточных условий положительной определенности квадратичной формы при линейных ограничениях, и одно из этих уело- [c.184]

Достаточные условия экстремума функции можно сформулировать и на языке квадратичной формы, изучаемой в разделе Аналитическая геометрия и линейная алгебра . Достаточные условия экстремума функции многих (и не только двух) переменных сводятся к положительной (или отрицательной) определенности квадратичной формы [c.310]

Симметричная квадратичная форма от переменных Ж1, Ж2,. . хп называется положительно определенной (отрицательно определенной], если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях переменных Ж1, Ж2,. . жп, не равных одновременно нулю. [c.311]

Следовательно предложенная для проверки квадратичная форма является положительно определенной. А [c.311]

Поскольку все главные миноры положительны, то квадратичная форма из примера 1 является положительно определенной. [c.313]

Поэтому соответствующая квадратичная форма не может быть положительно определенной или отрицательно определенной. Следовательно она является знакопеременной. А [c.313]

В качестве целевого функционала задачи идентификации естественно также принимать математическое ожидание положительно определенной квадратичной формы ошибок идентификации. Элементы матрицы D(t) определяют веса, с которыми учитываются сравнительная важность компонент векторов состояния и точность измерения x(t) в различные моменты времени [c.48]

Читайте также:  Как определить компланарны ли векторы по координатам

Рассмотрим частный случай, когда R(z) является квадратичной функцией, a Z совпадает с r-мерным пространством Rr. Пусть квадратичная часть R(z) — положительно определенная квадратичная форма. Легко видеть, что в этом случае R(z) представима в виде [c.374]

Пример 1. Выпуклыми являются функции х, х1, еах, линейная функция а, х, положительно определенная квадратичная форма а,ух х, однородная функция [c.92]

Тензор 6a(j является кубическим по производным г, следовательно,. энергия изгиба -кубическая форма по производным г. Для пластин (6 = 0) энергия изгиба — квадратичная положительно определенная форма по вторым производным от г. [c.269]

Плотность энергии единицы объема U будем считать положительно определенной квадратичной формой по компонентам тензора деформаций [c.335]

Если Q(x) > 0 ( А0и,-и, АО = onst >0. [c.79]

Если во всех точках тела тензор р .даЬ — pab положительно определен (т.е. положительно определена квадратичная форма (p bab — раь)шашь ), [c.168]

Поперечная упругая энергия, как легко проверить, есть положительно определенная квадратичная форма по уа = 2еа3 +El eliV и у = е3з + [c.302]

Для того, чтобы управление (8.1) стабилизировало положение равновесия г = О системы (7.1) канонического вида достаточно фиксировать в управлении (8.1) такие значения постоянных р,, i i = 0. n — 1, при которых нулевое решение системы (8.2) асимптотически устойчиво. В этом случае, как уже отмечалось, для любой положительно определенной квадратичной формы W(z) = xTWz, W А/ (Н), WT — W > 0 можно построить такую положительно определенную квадратичную форму V(z) = zTVz, V Л/ (К), V = V > 0, чго [c.280]

Смотреть страницы где упоминается термин Квадратичная форма положительно определенная

Математика для социологов и экономистов Учебное пособие (2004) — [ c.311 ]

Определение 1. Квадратичная форма называетсяположительно(отрицательно)определенной, если при всех значениях переменных, из которых хотя бы одно отлично от нуля, выполняется неравенство

Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:

Ссылка на основную публикацию
Какие комбинации клавиш необходимы для получения символов
Здравствуйте! Вы никогда не задумывались, сколько порой приходится тратить времени на обычные операции: выделить что-то мышкой, скопировать, затем вставить в...
Как удалить файл php
Как удалить файл с моего сервера с помощью PHP если файл находится в другой директории? вот мой макет страницы: projects/backend/removeProjectData.php...
Как удалить файл если он используется
Не редко встречаются ситуации, когда нужно удалить файл, но Windows сообщает, что файл занят другим процессом. Это может быть важный...
Какие компрессоры стоят в холодильниках бирюса
С появлением широкого ассортимента импортного холодильного оборудования бытовая техника отечественного производства постепенно отошла на второй план. Однако ошибочно думать, что...
Adblock detector